The group of germs at infinity of line homeomorphisms

Recently, I learned that the group G∞ of germs at +∞ of orientation preserving homeomorphisms of the real line has two remarkable properites: it is simple and left-orderable. I thought it is maybe worth to share some background on left-orderability (and why this might be interesting). Let’s start with a definition: A group G is … Continue reading "The group of germs at infinity of line homeomorphisms"

Elementarisierung der Fachinhalte für die Schule

In der Zeitschrift für Didaktik der Naturwissenschaften ist letztens ein Artikel erschienen über das Thema Quantenphysik in der Schule mit dem Ziel Leitlinien für Lehrerfortbildungen herauszuarbeiten ( Ich möchte in diesem Beitrag nur auf einen einzigen Aspekt eingehen, der in dem Artikel erwähnt wird. In der durchgeführten Studie wurde nämlich auch die retrospektive Sicht auf … Continue reading "Elementarisierung der Fachinhalte für die Schule"

Ergebnisse der Wissenschaftsbefragung

Gestern sind die Ergebnisse der DZHW-Wissenschaftsbefragung veröffentlicht worden. Die Wissenschaftsbefragung ist eine bundesweite repräsentative Trendstudie. [… Sie] versteht sich als langfristiges Barometer der Wissenschaft. Sie ist ein wichtiges Werkzeug zur Untersuchung der Arbeits- und Forschungsbedingungen an deutschen Universitäten und soll ein umfassendes Meinungsbild zur Lage und Entwicklung des deutschen Wissenschaftssystems liefern. Hier ist die Pressemeldung, … Continue reading "Ergebnisse der Wissenschaftsbefragung"

Triangulating real projective n-space

How many vertices do you need to triangulate the real projective n-space? From this blog post of Gil Kalai I learned about a recent preprint (arXiv:2009.02703) by Adiprasito-Avvakumov-Karasev where they construct triangulations with \[\exp\big((1/2 + \mathcal{o}(1))\sqrt{n}\log{n}\big)\text{-many}\] vertices, which is the first construction needing subexponentially-many vertices. More information, also about the history of this problem, may … Continue reading "Triangulating real projective n-space"

Resolution of Keller’s conjecture

Keller’s conjecture states that in any tiling of Euclidean space by identical hypercubes there are two cubes that meet face to face. (Consider the 2-dimensional picture on the right taken from Wikipedia. The squares share horizontal edges.) The conjecture is completely solved by now: it is true in dimensions 7 and less, but false in higher dimensions. The last missing part was … Continue reading "Resolution of Keller’s conjecture"

Catastrophe theory

This term I am teaching a course on catastrophe theory for 2nd year students. When you look up this topic on Wikipedia, you will see words like chaos and singularities mentioned, and you will be shown fancy pictures of the seven elementary catastrophes. But when you try to understand what the actual mathematical content of … Continue reading "Catastrophe theory"

Immersions of manifolds into Euclidean space

Recall the well-known result of Whitney that any (compact) smooth \(n\)-manifold admits an immersion into \(\mathbb{R}^{2n-1}\). Today there was a preprint posted on the arXiv (arXiv:2011.00974) which mentioned in its introduction the following result of Cohen, which strengthens Whitney’s result as follows: Any (compact) smooth \(n\)-manifold admits an immersion into \(\mathbb{R}^{2n-\alpha(n)}\), where \(\alpha(n)\) is the … Continue reading "Immersions of manifolds into Euclidean space"

Blockseminar on Dirac operators and scalar curvature

In mid-October we gathered for one week in Bollmannsruh (somewhat west of Berlin) to work our way through the seminal paper Positive scalar curvature and the Dirac operator on complete Riemannian manifolds by Gromov and Lawson. The hotel we stayed in lies directly at the beautiful lake Beetzsee. It was the perfect place to do … Continue reading "Blockseminar on Dirac operators and scalar curvature"